東京大学2026年度理系数学

第一問

1. 関数 $f(\theta )=\sin \theta -\theta +\frac{{\theta }^3}{6}$ の区間 $-1\le \theta \le 1$ における最大値 $M$ および最小値 $m$ を求めよ．
2. (1)で求めた $M$ に対し，次の不等式を示せ．

$$\frac{7}{8}\pi \le {\int }_0^{2\pi }\sin (\cos x-x)dx\le \frac{7}{8}\pi +4M$$

第二問

$n$ を正の整数とする．座標平面上の $3n$ 個の点がなす集合

$$\{(x,y)|x,yは1\le x\le 3,1\le y\le nを満たす整数\}$$

から相異なる3点を選ぶ．ただし，どの3点も等確率で選ばれるものとする．選んだ3点が三角形の3頂点となる確率を $p_n$ とする．

1. $p_5$ を求めよ．
2. $m$ を2以上の整数とする． $p_{2m}$ を求めよ．

第三問

座標空間内の原点を中心とする半径5の球面を $S$ とする． $S$ 上の相異なる3点 $\mathrm{P},\mathrm{Q},\mathrm{R}$ が次の条件を満たすように動く

条件: $\mathrm{P},\mathrm{Q}$ は $xy$ 平面上にあり，三角形 $\mathrm{P},\mathrm{Q},\mathrm{R}$ の重心は $\mathrm{G}(2,0,1)$ である．以下の問いに答えよ．

1. 線分 $\mathrm{PQ}$ の中点 $\mathrm{M}$ の軌跡を $xy$ 平面上に図示せよ．
2. 線分 $\mathrm{PQ}$ が通過する範囲を $xy$ 平面上に図示せよ．

第四問

$k$ を実数とし，座標平面上の曲線 $C$ を $y=x^3-kx$ で定める． $C$ 上の2点 $\mathrm{P},\mathrm{Q}$ に対する以下の条件(*)を考える．

条件(*): 原点 $\mathrm{O}$，点 $\mathrm{P}$，点 $\mathrm{Q}$ は相異なり， $C$ の $\mathrm{P},\mathrm{Q}$ における接線のうち，どの2本も交わり，そのなす角は全て $\frac{\pi }{3}$ となる．ただし，2直線のなす角は0以上 $\frac{\pi }{2}$ 以下の範囲で考えるものとする．

1. 条件(*)が満たす $\mathrm{P},\mathrm{Q}$ が存在するような $k$ の範囲を求めよ．
2. $k$ が(1)で定まる範囲にあるとする． $\mathrm{P},\mathrm{Q}$ が条件(*)を満たすように動くとき， $C$ の $\mathrm{O},\mathrm{P},\mathrm{Q}$ における接線によって囲まれる三角形の面積 $S$ の最大値を $M$，最小値を $m$ とおく．ただし，3本の接線が1点で交わるときは $S=0$ とする． $M=4m$ となる $k$ の値を求めよ．

第五問

複素数平面上の原点を中心とする半径1の円を $C$ とする．複素数 $\alpha$ と $C$ 上の点 $\mathrm{P}(z)$ に対し， $w=(z-\alpha {)}^3$ とおく． $\mathrm{P}$ が $C$ 上を動くときの点 $\mathrm{Q}(w)$ の軌跡を $D$ とする．

1. $\alpha =-3$ とし， $w$ の偏角を $\theta$ とおく． $\mathrm{P}$ が $C$ 上を動くとき， $\sin \theta$ がとりうる値の範囲を求めよ．
2. $\alpha$ が次の条件を満たすように動く．条件: $D$ は実軸の正の部分および負の部分の療法と共有点を持つ．複素数平面上の点 $\mathrm{R}(\alpha )$ が動きうる範囲の面積を求めよ．

第六問

$n$ を正の整数とする． $n$ の正の約数のうち，3で割って1余るものの個数を $f(n)$，3で割って2余るものの個数を $g(n)$ とする．

1. $f(2800),g(2800)$ を求めよ．
2. $f(n)\ge g(n)$ を示せ．
3. $g(n)=15$ であるとき， $f(n)$ がとりうる値を求めよ．