大阪大学2026年度理系数学

2026年2月28日

第一問

座標平面において， $y = x - x^{3}$ で表される曲線を $C$ とする．実数 $s$ に対して， $C$ 上の点 $(s, s - s^{3})$ における $C$ の接線を $ℓ_{s}$ で表す． $t$ を $0 < t < 1$ をみたす実数とするとき， $ℓ_{0}$ と $ℓ_{1}$ の交点を $P$ ， $ℓ_{0}$ と $ℓ_{t}$ の交点を $Q$ ， $ℓ_{1}$ と $ℓ_{t}$ の交点を $R$ とし，三角形 $PQR$ の面積を $S (t)$ とする．

$S (t)$ を $t$ の式で表せ．
実数 $t$ が $0 < t < 1$ の範囲を動くとき， $S (t)$ を最大にする $t$ の値と， $S (t)$ の最大値を求めよ．

第二問

空間内に4点 $O, A, B, C$ があり， $OA = OB = OC = 1$ である．また， $∠ AOB = ∠ AOC = 90°$ ， $∠ BOC = 60∠$ である． $t$ を正の実数とし，点 $D, E$ は $OD = t OB$ ， $OE = (2 t + 1) OC$ をみたす点とする．点 $P$ は $OA \cdot OP = - 1$ ， $OB \cdot OP = 1$ をみたしていて，さらに4点 $A, D, E, P$ は同一平面上にある． $OA = a, OB = b, OC = c$ とおく．

$AP$ を $a, b, c$ と $t$ を用いて表せ．
実数 $t$ が $t > 0$ の範囲を動く時， $∣ AP ∣$ を最小にする $t$ の値と， $∣ AP ∣$ の最小値を求めよ．

第三問

$a$ を実数とし，複素数 $z$ に対して，

f (z) = \frac{( 1 - ai ) z + ( 1 + ai ) z}{2}

とする．ただし， $i$ は虚数単位， $\overline{z}$ は $z$ と共役な複素数である．

$f (x)$ は実数であることを示せ．
実数 $a$ に対して， $∣ z ∣ = 1$ かつ

f (z) {f (z) - f (i) - 2} = - 2 f (i)

となるような複素数 $z$ の個数を $N (a)$ とする． $N (a)$ を求めよ．

第四問

実数 $x$ に対して， $f (x) = e^{- x} cos x$ とする．ただし， $e$ は自然対数の底である．

$0 \leq x \leq \frac{π}{2}$ のとき，不等式 $1 - x \leq f (x) \leq 1$ が成り立つことを示せ．
$0 < a \leq \frac{π}{2}$ をみたす実数 $a$ に対して，

I (a) \int_{0}^{a} \frac{( x + a ) f ( x )}{x ^{2} + a ^{2}} d x

とするとき， $a \to + 0 lim I (a)$ を求めよ．

第五問

さいころ1個を3回連続して投げ，1回目に出た目を $a$ ，2回目に出た目を $b$ ，3回目に出た目を $c$ とする．このとき， $a, b, c$ のなかで最大の数を $m$ とおき， $x = \frac{( a + b + c ) ^{2}}{3 ab c}$ とおく．

$a = b = c$ であって， $x$ が整数である確率を求めよ．
$m = 6$ であって， $x$ が整数である確率を求めよ．
$m$ が偶数であったとき， $x$ が整数である条件つき確率を求めよ．

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