神戸大学2026年度理系数学

第一問

1個のさいころを3回続けて投げ，出た目の数を順に $a,b,c$ とおく．多項式 $f(x),g(x)$ を

$$f(x)=2x^3+a{x}^2+3x+b,g(x)=x^2+cx+1$$

とし， $f(x)$ を $g(x)$ で割ったときの余りを $r(x)$ とおく．以下の問いに答えよ．

1. $r(x)$ が0である確率を求めよ．
2. $r(x)$ が0でなく，かつ， $r(x)$ の次数が0である確率を求めよ．
3. 方程式 $g(x)=0$ が有理数の解をもつ確率を求めよ．ただし，50以下の正の整数 $n$ に対し， $n$ が $1,4,9,16,25,36,49$ のいずれとも異なるならば， $\sqrt{n}$ が無理数であることを必要に応じて用いてよい．
4. $r(x)$ の次数が1であり，かつ， $g(x)$ が $r(x)$ で割り切れる確率を求めよ．

第二問

関数 $f(x)$ を

$$f(x)=\sin (\log x)\cos (\log x)(1\le x\le e^{\pi })$$

と定める．以下の問いに答えよ．

1. $y=f(x)$ のグラフの概形を図示せよ．グラフの凹凸は調べなくてよい．
2. $y=f(x)$ のグラフと $x$ 軸で囲まれた部分のうち， $y\ge 0$ である部分の面積を求めよ．

第三問

整数 $m$ が性質 $P$ をみたすとは，

$$m=|z^2|$$

が成り立つような実部と虚部が共に整数である複素数 $z$ が存在することとする．以下の問いに答えよ．

1. 性質 $P$ をみたす整数 $m$ で $30<m<40$ をみたすものをすべて挙げよ．
2. 性質 $P$ をみたす整数2つの積は，性質 $P$ をみたすことを証明せよ．
3. 4で割った余りが3であるような整数は，性質 $P$ をみたさないことを証明せよ．

第四問

$0\le a\le \pi$ とする．関数 $f(x)$ は $x$ の連続関数とし，

$$g(x)={\int }_a^{x}f(t)\sin (x-t)dt$$

とおく．以下の問いに答えよ．

1. $g^{\prime }(a)$ を求めよ．
2. $g^{\prime \prime }(x)$ を $f(x)$ と $g(x)$ を用いて表わせ．
3. 条件「 $g(x)=\sin x-{\sin }^{2}x$ 」は，条件「 $f(x)={\sin }^{2}x-2{\cos }^{2}x$ かつ $a=\frac{\pi }{2}$ 」であるための必要十分条件であることを証明せよ．

第五問

$r$ を正の実数とする．複素数 $\alpha$ が

$$(1+r^2){\alpha }^2-2\alpha +1=0$$

をみたすとする．複素数平面上の3点 $\mathrm{O}(0),\mathrm{A}(\alpha ),\mathrm{B}(1)$ について，以下の問いに答えよ．

1. 次の条件をみたす円 $C$ が存在することを証明し， $C$ の中心を表す複素数と $C$ の半径を求めよ．

条件「全ての正の実数 $r$ に対して， $\mathrm{A}$ は $C$ 上にある．」

1. $t>0$ とし， $r=t{e}^{-t}$ とする． $t>0$ における $△\mathrm{OAB}$ の面積の最大値とそれを与える $t$ を求めよ．